La formule de Magnus relie une température à la pression de vapeur saturante de l’air. C’est la brique de calcul derrière le point de rosée, l’humidité absolue et le pouvoir séchant.
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Calcul exact. Aucun barème, aucune appréciation : de la physique. Mais la formule de Magnus est un ajustement empirique, pas une identité — elle a une plage de validité et une incertitude, publiées ci-dessous et rappelées à chaque résultat.
e_s(T) = C × exp( b × T ÷ (c + T) ) · e = e_s × HR ÷ 100 · T_sat = c × γ ÷ (b − γ), avec γ = ln(e ÷ C)
La formule de Magnus donne la pression de vapeur saturante d’un air à une température donnée : la pression partielle qu’atteint la vapeur d’eau quand l’air n’en accepte plus. Tout ce qui touche à l’humidité en découle — l’humidité relative n’est que le rapport entre la vapeur présente et cette valeur, et le point de rosée, la température à laquelle une paroi se couvre de condensation, n’est que la même formule lue à l’envers.
« La » formule de Magnus n’existe pas. Il existe une forme, proposée par Heinrich Gustav Magnus en 1844, et une famille d’ajustements de cette forme sur des mesures. Tous s’écrivent pareil ; seuls changent les trois nombres C, b et c. Ils ne donnent pas le même résultat et ne valent pas sur la même plage.
L’écart paraît minuscule et ne l’est pas toujours. Sur la pression de vapeur saturante à 20 °C, les quatre ajustements proposés ici tiennent dans 0,2 %. À −20 °C, le jeu historique de Magnus-Tetens s’écarte de 0,8 % des valeurs modernes, et de 2,5 % à −40 °C : il n’a jamais été publié pour ces températures. C’est la raison pour laquelle ce calculateur refuse d’employer un jeu hors de sa plage plutôt que de prolonger la courbe en silence.
Par défaut, celui du National Physical Laboratory, l’institut de métrologie britannique — coefficients 17,62 et 243,12 au-dessus de l’eau, identiques à ceux de Sonntag. Trois raisons : il couvre la plage la plus large (−45 à +60 °C), il est le seul de la liste dont la source publie une incertitude assortie d’un niveau de confiance (moins de 0,6 % de la valeur, à 95 %), et la même source fournit le jeu correspondant au-dessus de la glace.
L’ajustement d’Alduchov et Eskridge (1996), très répandu en météorologie, donne pratiquement la même chose : sur toute la plage du bâtiment, les deux jeux s’accordent à mieux que 0,03 °C sur le point de rosée. Le choix entre eux n’a aucune conséquence pratique. Celui entre l’un des deux et Magnus-Tetens employé hors plage, si.
En dessous de zéro, une même température correspond à deux pressions de vapeur saturantes différentes selon que la surface est de la glace ou de l’eau restée liquide en surfusion. À −10 °C, la pression au-dessus de la glace est inférieure de 9,5 % à celle au-dessus de l’eau surfondue ; à −30 °C, de 26 %.
Cet écart n’est pas une subtilité de laboratoire : c’est lui qui fait grossir les cristaux de glace aux dépens des gouttelettes dans un nuage, et c’est lui qui explique qu’une vitre givre pendant que la buée voisine reste liquide. Un hygromètre qui affiche un point de rosée négatif ne précise généralement pas s’il l’a calculé sur l’eau ou sur la glace ; l’écart entre les deux lectures atteint quelques dixièmes de degré.
La pression de vapeur saturante croît de façon exponentielle avec la température : dans la plage du bâtiment, elle double tous les 10 à 12 °C. Une conséquence en découle, contre-intuitive et souvent ratée : la moyenne des pressions n’est pas la pression de la moyenne. Un air à 10 °C le matin et 30 °C l’après-midi ne se comporte pas comme un air à 20 °C constant — la moyenne de ses deux pressions saturantes dépasse de 17 % celle qu’on lirait à 20 °C.
C’est le même défaut de raisonnement que sur l’addition de niveaux sonores en décibels, où deux sources de 60 dB en font 63 et non 120 : dès qu’une grandeur passe par une exponentielle ou un logarithme, la moyenne arithmétique des valeurs affichées ne veut plus rien dire. Il faut moyenner les pressions, jamais les températures.
Elle donne une pression, pas une quantité d’eau. Passer de l’une à l’autre demande la loi des gaz parfaits, et le résultat dépend alors de la température absolue : c’est l’humidité absolue, en grammes par mètre cube, que le calculateur affiche au-dessus. Un air saturé à 0 °C porte 4,85 g/m³, un air saturé à 20 °C en porte 17,2 : plus de trois fois plus. C’est toute l’explication du fait que ventiler en hiver assèche.
Elle décrit enfin de la vapeur d’eau pure. En présence d’air, un facteur d’accroissement corrige la valeur de très peu ; il n’est appliqué ni ici ni dans la plupart des usages, et il reste sans effet sur une décision de chantier ou de conservation.
Les formules ci-dessous sont écrites pour un Excel en français, dont le séparateur d’arguments est le point-virgule et le séparateur décimal la virgule. Elles fonctionnent aussi dans LibreOffice Calc.
En A1, la température en °C. Les coefficients du NPL sont écrits en clair dans la formule.
=6,112*EXP(17,62*A1/(243,12+A1)) Le piège : Le résultat est en hectopascals. Pour des pascals, multipliez par 100 ; pour des millibars, ne changez rien, l’hectopascal et le millibar sont la même unité.
En A1 la température, en B1 l’humidité relative en pourcentage, en C1 la formule précédente.
D1 : =C1*B1/100 puis E1 : =C1-D1 Le piège : C’est E1, le déficit de saturation, qui mesure le pouvoir séchant de l’air — pas B1. Deux ambiances affichent 60 % d’humidité relative, l’une à 10 °C et l’autre à 30 °C : le déficit de la seconde est trois fois et demie plus grand, et c’est elle qui sèche.
En F1, on isole le terme intermédiaire ; en G1, le résultat en °C.
F1 : =17,62*A1/(243,12+A1)+LN(B1/100) puis G1 : =243,12*F1/(17,62-F1) Le piège : Passer par F1 n’est pas une coquetterie : la formule en une ligne est illisible et impossible à relire. Contrôle utile — si F1 est positif alors que B1 est inférieur à 100, il y a une erreur de saisie.
A1 contient la température. On choisit le jeu selon son signe.
=SI(A1<0;6,112*EXP(22,46*A1/(272,62+A1));6,112*EXP(17,62*A1/(243,12+A1))) Le piège : Cette bascule suppose que la surface est bien gelée. Une gouttelette en surfusion à −5 °C suit la courbe de l’eau, pas celle de la glace, et l’écart entre les deux atteint 4,8 % à cette température.
En D1 la pression de vapeur réelle en hPa, en A1 la température en °C.
=D1*100/(461,5*(A1+273,15))*1000 Le piège : Le 273,15 est indispensable : la loi des gaz parfaits travaille en kelvins. L’oublier ne déclenche aucune erreur, elle rend simplement un résultat faux d’un facteur quinze.
Un ajustement empirique qui donne la pression de vapeur saturante de l’eau en fonction de la température, sous la forme e_s = C × exp(b × T / (c + T)). Elle remonte à Heinrich Gustav Magnus, en 1844. Ce n’est pas une loi physique déduite de principes premiers : c’est une courbe calée sur des mesures, choisie parce qu’elle est simple, précise et surtout inversible en une ligne, ce qui donne directement le point de rosée.
Pour un usage courant au-dessus de l’eau, 17,62 et 243,12 avec une constante de 6,112 hPa : ce sont ceux du National Physical Laboratory, valables de −45 à +60 °C avec une incertitude publiée de moins de 0,6 %. Le jeu d’Alduchov et Eskridge (17,625 et 243,04) donne le même résultat à mieux que 0,03 °C sur le point de rosée. Le jeu historique 17,27 / 237,7 n’a été publié que de 0 à 60 °C, et il s’écarte nettement en dessous de zéro.
Le point de rosée est une grandeur : une température, celle en dessous de laquelle une surface se couvre de condensation. La formule de Magnus est l’outil qui permet de la calculer, parmi d’autres usages. Si vous cherchez à savoir si un mur ou un vitrage va condenser, allez directement au calculateur de point de rosée, qui compare la température de la paroi au point de rosée de l’air.
Parce que la glace et l’eau liquide n’ont pas la même pression de vapeur à la même température. À −10 °C, elle est inférieure de 9,5 % au-dessus de la glace ; à −30 °C, de 26 %. En dessous de zéro, il faut donc savoir si la surface est gelée ou si l’eau est restée liquide en surfusion. Employer la courbe de l’eau sur du givre surestime la pression, et déplace le résultat de plusieurs dixièmes de degré.
Elle est plus précise et plus large : Arden Buck l’a optimisée de −80 à +50 °C. Mais elle n’est plus de forme Magnus, elle ajoute un terme en T, et son inversion demande de résoudre une équation du second degré puis de choisir la bonne racine — là où Magnus s’inverse par une division. C’est le compromis habituel : Magnus reste employé partout pour sa simplicité, pas parce qu’il serait le plus exact.
Sur la pression, moins de 0,6 % de la valeur avec les coefficients du NPL, au niveau de confiance de 95 %, de −45 à +60 °C. Sur un point de rosée calculé à partir d’une humidité relative, l’erreur est bien plus faible : la constante C s’élimine dans le calcul, et il ne reste que l’erreur de forme, sous 0,35 °C selon Lawrence (2005). En pratique, l’incertitude de votre hygromètre — souvent 2 à 3 points d’humidité relative — pèse beaucoup plus lourd que celle de la formule.
Oui, en deux temps. La formule donne une pression ; la loi des gaz parfaits la convertit en masse d’eau par mètre cube, avec la constante 461,5 J·kg⁻¹·K⁻¹ de la vapeur d’eau et une température en kelvins. Un air saturé porte 4,85 g/m³ à 0 °C et 17,2 g/m³ à 20 °C. Ce rapport de plus de trois explique qu’un air froid, même saturé dehors, assèche une pièce une fois réchauffé à l’intérieur.
La condensation n’apparaît pas parce qu’il fait humide, mais parce qu’une surface est plus froide que le point de rosée de l’air qui la touche.
Une ligne longue perd de la tension. Au-delà d’un certain pourcentage, l’appareil au bout ne fonctionne plus correctement — et la limite dépend de ce qu’on alimente.
Les décibels ne s’additionnent pas comme des euros. Deux machines de 60 dB côte à côte produisent 63 dB, pas 120. Saisissez vos niveaux.
Donnez deux des trois grandeurs — puissance, tension, intensité — le calculateur rend la troisième et la compare aux calibres de disjoncteur courants.